题目

题型：不详难度：来源：

如图，反比例函数的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为(2，0)，tan∠AOB=。

（1）求k的值；
（2）将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE的函数表达式；
（3）若直线AE与x轴交于点M、与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论并说明理由.

答案

解：（1）由已知条件得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB=，∴。∴AB=3。
∴A点的坐标为（2，3）。
∴k=xy=6。
（2）∵DC由AB平移得到，点E为DC的中点，∴点E的纵坐标为。
又∵点E在双曲线上，∴点E的坐标为（4，）。
设直线AE的函数表达式为，则
，解得。
∴直线AE的函数表达式为。
（3）结论：AN=ME。理由：
在表达式中，令y=0可得x=6，令x=0可得y=。
∴点M（6，0），N（0，）。
解法一：延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，OF=3，

∴NF=ON－OF=。
∴根据勾股定理可得AN=。
∵CM=6－4=2，EC=，
∴根据勾股定理可得EM=。
∴AN=ME。
解法二：连接OE，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，
∵，
∴，
∵AN和ME边上的高相等，
∴AN=ME。

解析

试题分析：（1）在直角△AOB中利用三角函数求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值.
（2）已知E是DC的中点，则E的纵坐标已知，代入反比例函数的解析式即可求得E的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式.
（3）首先求得M、N的坐标，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，利用勾股定理求得AN和EM的长，即可证得.