题目

题型：不详难度：来源：

如图，某汽车的底盘所在直线恰好经过两轮胎的圆心，两轮的半径均为60cm，两轮胎的圆心距为260cm（即PQ=260cm），前轮圆心P到汽车底盘最前端点M的距离为80cm，现汽车要驶过一个高为80cm的台阶（即OA=80cm），若直接行驶会“碰伤”汽车．
（1）为保证汽车前轮安全通过，小明准备建造一个斜坡AB（如图所示），那么小明建造的斜坡的坡角α最大为多少度？（精确到0.1度）
（2）在（1）的条件下，汽车能否安全通过此改造后的台阶（即汽车底盘不被台阶刮到）？并说明理由．

答案

（1）如图1，为了保证汽车安全通过的最大坡角，应满足当轮胎与地面BC、斜坡BA均相切，且汽车底盘前端点M恰在斜坡AB上，
在Rt△PHM中，易知PH=60cm，PM=80cm，∠PMH=α，
所以sinα=

PH

PM

=

60

80

=

3

4

，
所以α≈48.5°（此处应采用去尾法进行近似）（3分）

（2）∵

320

3

＜260
∴当前轮安全通过台阶时，后轮仍在平地上
在Rt△AOB中，AB=AO÷sinα=

4

3

×80=

320

3

，
∴OB=

( 320 3 )2-6400

=

80 7

3

；
∴BN=BH=BM-MH=80-20

7

∴ON=80+

20 7

3

如图2，假设底盘与点A相碰，
∵△QAF∽△QPE
∴

QA

PQ

=

AF

PE

，∴QA=65，
∴OC=FQ=

652-202

=15

17

．
∵15

17

＜80+

20 7

3

∴此车可以安全通过．（8分）