题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=kx+3。
（1）设点P的纵坐标为p，写出p随变化的函数关系式。
（2）设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；
（3）是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）、∵y轴和直线l都是⊙C的切线
∴OA⊥AD BD⊥AD
又∵OA⊥OB
∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°
∴四边形OADB是矩形
∵⊙C的半径为2
∴AD=OB=4
∵点P在直线l上
∴点P的坐标为（4，p）
又∵点P也在直线AP上
∴p=4k+3；

（2）连接DN
∵AD是⊙C的直径
∴∠AND=90°
∵∠AND=90°-∠DAN，∠ABD=90°-∠DAN
∴∠AND=∠ABD
又∵∠ADN=∠AMN
∴∠ABD=∠AMN 
∵∠MAN=∠BAP
∴△AMN∽△ABP；

（3）存在，
理由：把x=0代入y=kx+3得y=3，即OA=BD=3
AB=
∵S_△ABD=AB·DN=AD·DB
∴DN=
∴AN²=AD²-DN²=
∵△AMN∽△ABP
∴
即
当点P在B点上方时，
∵AP²=AD²+PD²=AD²+（PB-BD）²=4²+（4k+3-3）²=16（k²+1）
或AP²=AD²+PD²=AD²+（BD-PB）²=4²+（3-4k-3）²=16（k²+1）
S_△ABP=PB·AD=（4k+3）×4=2（4k+3）
∴
整理得k²-4k-2=0
解得k₁=2+，k₂=2-
当点P在B 点下方时，
∵AP²=AD²+PD²=4²+（3-4k-3）²=16（k²+1）
S_△ABP=PB·AD=[-（4k+3）]×4=-2（4k+3）
∴
化简，得k²+1=-（4k+3）
解得k=-2
综合以上所得，当k=2±或k=-2时，△AMN的面积等于。