题目

题型：浙江省中考真题难度：来源：

图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10，BD=6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为h₁，h₂，△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形。
（1）求蝶形面积S的最大值；
（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求h₁与h₂满足的关系式，并求h₂的取值范围。

答案

解：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形，
由EF∥BD，得△ABD∽△AEF，
∴，即，
∴S=2，
所以当时，；
（2）根据题意，得OE=OM，
如图，作OR⊥AB于R，OB关于OR对称线段为OS，
1）当点E，M不重合时，则OE，OM在OR的两侧，易知RE=RM，
∵，∴OR=，
∴BR=，
由ML∥EK∥OB，得，
∴，即，
∴，此时h₁的取值范围为且，
2）当点E，M重合时，则h₁=h₂，此时h₁的取值范围为。