题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE，我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形，请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4-图6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k>0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由；
（3）在第（2）题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=，求BE²+DG²的值。
图1                           图2                            图3

图4                       图5                       图6

答案

解：（1）①BG=DE，BG⊥DE；
②BG=DE，BG⊥DE仍然成立，
在图（2）中证明如下
∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形，
∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
又∵∠BGC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHO=90°，
∴∠DOH=90°，
∴BG⊥DE；
（2）BG⊥DE成立，BG=DE不成立，
简要说明如下：
∵四边形ABCD、四边形CEFG都是矩形，
且AB=a，BC=b，CG=kb，CE=ka（a≠b，k＞0），
∴，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG∽△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHO=90°，
∴∠DOH=90°，
∴BG⊥DE；
（3）∵BG⊥DE，
∴BE²+DG²=OB²+OE²+OG²+OD²=BD²+GE²，
又∵a=3，b=2，k=，
∴ BD²+GE²=2²+3²+1²+（）²=，
∴BE²+DG²=。