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题目
题型:四川省中考真题难度:来源:
已知A、D是一段圆弧上的两点,且在直线l的同侧,分别过这两点作l的垂线,垂足为B、C,E是BC上一动点,连接AD、AE、DE,且∠AED=90°。
(1)如图(1),如果AB=6,BC=16,且BE∶CE=1∶3,求AD的长;
(2)如图(2),若点E恰为这段圆弧的圆心,则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明。再探究:当A、D分别在直线l两侧且AB≠CD,而其余条件不变时,线段 AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系?请直接写出结论,不必证明。
答案
解:(1)∵AB⊥l于B,DC⊥l于C,
∴∠ABE=∠ECD=90°,
∵∠BEA+∠AED+∠CED=180°,
且∠AED=90°,
∴∠CED=90°-∠BEA,
又∠BAE=90°-∠BEA,
∴∠BAE=∠CED,
∴Rt△BE∽Rt△ECD,

∵BE∶EC=1∶3,BC=16,
∴BE=4,EC=12,
又AB=6,

在Rt△AED中,由勾股定理,得
=
(2)(1)猜想:AB+CD=BC;
证明:在Rt△ABE中,
∵∠ABE=90°,
∴∠BAE=90°-∠AEB,
又∵∠AEB+∠AED+∠CED=180°,
且∠AED=90°,
∴∠CED=90°-∠AEB,
∴∠BAE=∠CED,
∵DC⊥BC于点C,
∴∠ECD=90°,
由已知,有AE=ED,
于是在Rt△ABE和Rt△ECD中,
∵∠ABE=∠ECD=90°,∠BAE=∠CED,AE=ED,
∴Rt△ABE≌Rt△ECD(AAS),
∴AB=EC,BE=CD,
∴BC=BE+EC=CD+AB,即AB+CD=BC;
(ii)当A、D分别在直线l两侧时,线段AB、BC、CD有如下等量关系:
AB-CD=BC(AB>CD)或CD-AB=BC(AB<CD)。
核心考点
试题【已知A、D是一段圆弧上的两点,且在直线l的同侧,分别过这两点作l的垂线,垂足为B、C,E是BC上一动点,连接AD、AE、DE,且∠AED=90°。(1)如图(1】;主要考察你对相似三角形性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,Rt△ABC内接于⊙O,AC= BC,∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D,与BC交于点E,延长BD,与AC的延长线交于点F,连接CD,G是CD的中点,连接OG。
(1)判断OG与CD的位置关系,写出你的结论并证明;
(2)求证:AE=BF;
(3)若OG·DE=,求⊙O的面积。
题型:四川省中考真题难度:| 查看答案
一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M,N,与反比例函数的图象交于点A,B,过点A分别作AC⊥x轴,AE⊥y轴,垂足分别为C,E;过点B分别作BF⊥x轴,BD⊥y轴,垂足分别为F,D,AC与BD交于点K.连接CD。
(1)若点A,B在反比例函数的图象的同一分支上,如图(1),试证明:
①S四边形AEDK=S四边形CFBK
②AN=BM;
(2)若点A,B分别在反比例函数的图象的不同分支上,如图(2),则AN与BM还相等吗?试证明你的结论。
题型:山东省中考真题难度:| 查看答案
下列命题中不成立的是 [     ]
A.矩形的对角线相等
B.三边对应相等的两个三角形全等
C.两个相似三角形面积的比等于其相似比的平方
D.一组对边平行,另一组对边相等的四边形一定是平行四边形
题型:安徽省中考真题难度:| 查看答案
如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC=4AD=,∠B=45°,直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动,一直角边始终经过点A,斜边与CD交于点F,若△ABE为等腰三角形,则CF的长等于(    )。
题型:山西省中考真题难度:| 查看答案
若正方形ABCD的边长为4,E为BC边上一点,BE=3,M为线段AE上一点,射线BM交正方形的一边于点F,且BF=AE,则BM的长为(    )。
题型:黑龙江省中考真题难度:| 查看答案
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