题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC= BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG。
（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；
（2）求证：AE=BF；
（3）若OG·DE=，求⊙O的面积。

答案

解：（1）猜想：OG⊥CD；
证明：如图，连接OC、OD，
∵OC=OD，G是CD的中点，
∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等），
在Rt△ACE和Rt△BCF中，
∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，
∴Rt△ACE≌Rt△BCF（ASA），
∴AE=BF；
（3）如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点，
∴，即AD=2OH，
又∠CAD=∠BADCD=BD，
∴OH=OG，
在Rt△BDE和Rt△ADB中，
∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，
∴Rt△BDE∽Rt△ADB，
∴，即BD²=AD·DE，
∴BD²=AD·DE=2OG·DE=，
又BD=FD，
∴BF=2BD，
∴BF²=4BD²=①
设AC=x，则BC=x，，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠FAD=∠BAD，
在Rt△ABD和Rt△AFD中，
∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA），
∴，BD=FD，
∴CF=AF-AC=，
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BF²=BC²+CF²=x²+②，
由①、②，得，
∴x²=12，解得（舍去），
∴，
∴⊙O的半径长为，
∴S_⊙O=。