题目

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

如图所示，（1）正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF=90°，连接BE、DF，将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图（1）给予证明；
（2）将（1）中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD=kAB，AF=kAE，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？结合图（2）说明理由；
（3）将（2）中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且∠BAD=∠EAF=α，其他条件不变，（2）中的结论是否发生变化？结合图（3），如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用a表示出直线BE、DF形成的锐角β。

答案

解：（1）延长DF分别交AB、BE于点P、G，
在正方形ABCD和等腰直角△AEF中 AD=AB，AF=AE，∠BAD=∠EAF =90°，
∴∠FAD=∠EAB
∴△FAD≌△EAB，
∴∠FDA=∠EBA，DF=BE 
∵∠DPA=∠BPG，
∠ADP+∠DPA=90°
∴∠EBP+∠BPG=90°
∴∠DGB=90°
∴DF⊥BE；（2）数量关系改变，位置关系不变，
DF=kBE，DF⊥BE，
延长DF交EB于点H，
∵AD=kAB，AF=kAE
∴=k，=k
∴
∵∠BAD=∠EAF=α
∴∠FAD=∠EAB
∴△FAD∽△EAB
∴
∴DF=kBE
∵△FAD∽△EAB，
∴∠AFD=∠AEB，
∵∠AFD+∠AFH=180°，
∴∠AEH+∠AFH=180°，
∵∠EAF=90°，
∴∠EHF=180°-90°=90°，
∴DF⊥BE；

（3）不改变，DF=kBE，β=180°-a，
延长DF交EB的延长线于点H
∵AD=kAB，AF=kAE
∴=k，=k
∴
∵∠BAD=∠EAF=α
∴∠FAD=∠EAB
∴△FAD∽△EAB
∴=k
∴DF=kBE
由△FAD∽△EAB
得∠AFD=∠AEB
∵∠AFD+∠AFH=180°
∴∠AEB+∠AFH=180°
∵四边形AEHF的内角和为360°，
∴∠EAF+∠EHF=180°
∵∠EAF=α，∠EHF=β
∴a+β=180°
∴β=180°-a。