题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

如图1，以矩形ABCD的顶点A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，点D的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，6），点F在对角线AC上运动（点F不与点A，C重合），过点F分别作x轴、y轴的垂线，垂足为G，E。设四边形BCFE的面积为S₁，四边形CDGF的面积为S₂，△AFG的面积为S₃。
（1）试判断S₁，S₂的关系，并加以证明；
（2）当S₃：S₂=1：3时，求点F的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，把△AEF沿对角线AC所在直线平移，得到△A′E′F′，且A′，F′两点始终在直线AC上，是否存在这样的点E′，使点E′到x轴的距离与到y轴的距离比是5：4，若存在，请求出点E′的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）
如图，∵轴，轴，
∴四边形是矩形
∴
∴，同理
∴，即。（2）∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∴。（3）∵是由沿直线平移得到的，
∴
①如图，∵点到x轴的距离与到y轴的距离比是
若点在第一象限
∴设且
延长交x轴于M，得，
∵，
∴，得
∴
∴，。②如图
点到x轴的距离与到y轴的距离比是
若点在第二象限，
∴设且
得，
同理得
∴
∴
∴。③如图，∵点到x轴的距离与到y轴的距离比是，若点在第三象限
∴设且
延长交y轴于点P，得，
同理，得，
∴（不合题意，舍去）
∴在第三象限不存在点。④点不可能在第四象限
∴存在满足条件的坐标分别是。