题目

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

如图1，在⊙O中，，点M是上任意一点，弦CD与弦BM交于点F，连接MC，MD，BD。
（1）请你在图1中过点B作⊙O的切线AE，并证明AE∥CD；（不写作法，作图允许使用三角板）
（2）求证：MC·MD=MF·MB；
（3）如图2，若点M是上任意一点（不与点B，点C重合），弦BM，DC的延长线交于点F，连接MC，MD，BD，则结论MC·MD=MF·MB是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由。

答案

解：（1）如图，正确作出切线，
证明：∵AE是⊙O的切线，
∴∠DBE=∠DMB，
∵，
∴∠CDB=∠DMB，
∴∠DBE=∠CDB，
∴AE∥CD；
（2）证明：∵，
∴∠CMF=∠BMD，
又∵∠MCF=∠MBD，
∴△MCF∽△MBD，
∴，
∴MC·MD=MF·MB；
（3）成立；
证明：∵四边形BDCM是⊙O的内接四边形，
∴∠FCM=∠DBM，∠FMC=∠BDC，
∵，
∴∠BDC=∠DMB，
∴∠FMC=∠DMB，
∴△MCF∽△MBD，
∴，
∴MC·MD=MF·MB。