题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

如图，设抛物线y= ax² + bx -2与x轴交于两个不同的点A(- 1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C，且∠ACB = 90°，
(1)求m的值；
(2)求抛物线的解析式，并证明点D(1，- 3 )在抛物线上；
(3)已知过点A 的直线y=x+1 交抛物线于另一点E，问：在x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标，若不存在，请说明理由。

答案

解：(1)令x=0，得y= -2，∴C(0，-2)，        
∵ ∠ACB = 90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，  
∴，∴，
∴ m=4。  
(2)将 A(- 1，0)，B(4，0)代入y=ax2 + bx -2，解得
∴ 抛物线的解析式为      
当x=1 时， ∴ 点D(1，- 3)在抛物线上    
(3)存在。    由 得，
∴ E(6，7)      
过E作EH⊥x轴于H，则H(6，0)，
∴AH = EH =17 ，
∴∠EAH = 45°，
过D作DF⊥x轴于F，则F(1，0)，
∴ BF = DF =3，∴∠DBF =45°，
∴∠EAH = ∠DBF =45°
∴∠DBH =135°，90°<∠EBA<135°，点P只能在点 B的左侧，
有以下两种情况：
①若△DBP₁ ∽△EAB，则，∴，∴ ，∴    
②若△DBP₂ ∽△BAE，则，∴，∴，∴    
综合①②，得点 P的坐标为：P₁(，0)或P₂