题目

题型：期末题难度：来源：

已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE=BF，FH∥FG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G。
（1）如图1，如果点E、F在边AB上，那么EG+FH=AC；
（2）如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是 _________ ；
（3）如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_____________。
对（1）（2）（3）三种情况的结论，请任选一个给予证明。

答案

（1）证明：∵FH∥EG∥AC，
∴∠BFH=∠BEG=∠A，△BFH∽△BEG∽△BAC，
∴．∴，
又∵BF=EA，
∴，
∴，
∴AC=FH+EG；
（2）线段EG、FH、AC的长度的关系为：EG+FH=AC，
证明（2）：过点E作EP∥BC交AC于P，
∵EG∥AC，
∴四边形EPCG为平行四边形，
∴EG=PC，
∵HF∥EG∥AC，
∴∠F=∠A，∠FBH=∠ABC=∠AEP，
又∵AE=BF，
∴△BHF≌△EPA，
∴HF=AP，
∴AC=PC+AP=EG+HF，
即EG+FH=AC；
（3）线段EG、FH、AC的长度的关系为：EG﹣FH=AC，
如图，过点A作AP∥BC交EG于P，
∵EG∥AC，
∴四边形APGC为平行四边形，
∴AC=PG，
∵HF∥EG∥AC，
∴∠F=∠E，∠FBH=∠ABC=∠PAE，
又∵AE=BF，
∴△BHF≌△EPA，
∴HF=EP，
∴AC=EG﹣EP=EG﹣HF，
即EG﹣FH=AC。