题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在轴，轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于轴对称，tan∠ACB=，点E，F分别是线段AD，AC上的动点（点E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB。
（1）求AC的长和点D的坐标；
（2）说明△AEF与△DCE相似；
（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标。

答案

解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠B=90°，
在Rt△ABC中，BC=AB÷tan∠ACB=16÷=12，则AO=BC=12，
  ∴ A（-12，0），点D与点A关于轴对称，∴D（12，0）；
（2）∠AFE是△CEF的外角，∴∠AFE=∠FCE+∠CEF，
∵∠CEF=∠ACB，∴∠AFE=∠FCE+∠ACB=∠BCE，
∵BC∥AD， ∴∠BCE=∠DEC，∴∠AFE=∠DEC①，
∵点A与点D关于轴对称，而C，O在对称轴上，
∴△ACO与△DCO关于轴对称，∴∠FAE=∠EDC②，
由①，②得△AEF∽△DCE；
（3）当FE=EC时，△EFC为等腰三角形，
由（2），△AEF∽△DCE，∴FE:EC=AE:DC，
此时，AE=DC=AC==20，
则E（8，0）；
当CF=CE时，∠CFE=∠CEF=∠ACB，
则有EF∥BC，
此时，点F与A重合，则点E在D处，与已知矛盾；
当CF=FE时，∠FCE=∠CEF，
又∵△AEF∽△DCE，∴∠AEF=∠DCE∴∠FCE+∠DCE =∠CEF+∠AEF，
即∠ACD=∠AEC， 而∠CAE=∠DAC，
∴△AEC∽△ACD，AE:AC=AC:AD，
而AD=18，∴AE= 则E（，0），
∴当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标为（8，0）或（，0）。