题目
题型:福建省竞赛题难度:来源:
(1)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与边OA,OB交于点C,D.①在图甲中,证明:PC=PD;②在图乙中,点G是CD与OP的交点,且PG=PD,求△POD与△PDG的面积之比;
(2)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,一直角边与边OB交于点D,OD=1,另一直角边与直线OA,直线OB分别交于点C,E,使以P,D,E为顶点的三角形与△OCD相似,在图丙中作出图形,试求OP的长.
答案
解:(1)①证明:过P作PH⊥OA,PN⊥OB,垂足分别为H,N,得∠HPN=90°
∴∠HPC+∠CPN=90°
∵∠CPN+∠NPD=90°
∴∠HPC=∠NPD
∵OM是∠AOB的平分线
∴PH=PN
又∵∠PHC=∠PND=90°
∴△PCH≌△PDN
∴PC=PD
②∵PC=PD
∴∠PDG=45°
∵∠POD=45°
∴∠PDG=∠POD
∵∠GPD=∠DPO
∴△POD∽△PDG
∴.
(2)①若PC与边OA相交,
∵∠PDE>∠CDO
令△PDE∽△OCD
∴∠CDO=∠PED
∴CE=CD
∵CO⊥ED
∴OE=OD
∴OP=ED=OD=1
②若PC与边OA的反向延长线相交
过P作PH⊥OA,PN⊥OB,垂足分别为H,N,
∵∠PED>∠EDC
令△PDE∽△ODC
∴∠PDE=∠ODC
∵∠OEC=∠PED
∴∠PDE=∠HCP
∵PH=PN,Rt△PHC≌Rt△PND
∴HC=ND,PC=PD
∴∠PDC=45°
∴∠PDO=∠PCH=22.5°
∴∠OPC=180°﹣∠POC﹣∠OCP=22.5°
∴OP=OC.设OP=x,则OH=ON=
∴HC=DN=OD﹣ON=1﹣
∵HC=HO+OC=+x
∴1﹣=+x
∴x=
即OP=
核心考点
试题【已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,按以下要求解答问题:(1)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与边OA,OB交于点C,D.①在图甲中】;主要考察你对相似三角形性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求PA的长;
(2)以点A为圆心,AP为半径作⊙A,试判断BE与⊙A是否相切,并说明理由;
(3)如图2,过点C作CD⊥AE,垂足为D.以点A为圆心,r为半径作⊙A;以点C为圆心,R为半径作⊙C.若r和R的大小是可变化的,并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切,且使D点在⊙A的内部,B点在⊙A的外部,求r和R的变化范围.
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