题目

题型：不详难度：来源：

如（a）图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（12，0），点B坐标为（6，8），点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度/秒的速度运动一周．
（1）点C坐标是______，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是______；
（2）设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S，并指出t为何值时，S最大；
（3）点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如（b）图，若点E与点D同时出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD相似？（只考虑以点A、O为对应顶点的情况）

答案

（1）C（3，4），D（9，4）；

（2）易知：OB=AB=10；
∵C点坐标为（3，4），
∴点C到x轴的距离为4
①当点D在线段OA上，即0＜t≤6时，OD=2t；
则：S=

1

2

OD×4=

1

2

×2t×4=4t；
②当D在线段AB上，即6≤t＜11时，BD=OA+AB-2t=22-2t；
过D作DM⊥OB于M，过点A作AN⊥OB于N；
则△BMD∽△BNA，得：

DM

AN

=

BD

BA

=

22-2t

10

=

11-t

5

；
易知S_△OAB=48；
∵S_△ODB：S_△OAB=DM：AN=（11-t）：5，
∴S_△OBD=S_△OAB•

11-t

5

=

48

5

（11-t）；
∵BC=OC，
∴S=S_△BCD，即S=

1

2

S_△OBD=

24

5

（11-t）=-

24

5

t+

264

5

；
③当D在线段OB上时，O、C、D三点共线，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上可知：当t=6时，S最大，且S_max=24；

（3）当0≤t≤5s时，D在线段OA上运动，E在线段AB上运动；
△OCD中，OC=5，OD=2t；△DAE中，AD=12-2t，AE=2t；
①当△OCD∽△ADE时，

OC

AD

=

OD

AE

=1，∴OC=AD，即12-2t=5，t=

7

2

；
②当△OCD∽△AED时，

OC

AE

=

OD

AD

，即

5

2t

=

2t

12-2t

，解得t=

265 -5

4

；
综上所述，当t=

7

2

或

265 -5

4

时，两个三角形相似．