题目

题型：江苏期中题难度：来源：

如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，联结EF，交边AB于点G，设DE=x，BF=y。
（1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如果AD=BF，求证：△AEF∽△DEA；
（3）当点E在边CD上移动时，△AEG能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出线段DE的长；如果不能，请说明理由。

答案

解：（1）在矩形ABCD中，∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AD=BC=3，
即得∠D=∠ABF，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=∠BAD=90°，
又∵∠EAF=∠BAF+∠BAE，∠BAD=∠DAE+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAF，
于是，由∠D=∠ABF，∠DAE=∠BAF，
得△DAE∽△BAF，
∴，
由DE=x，BF=y，得，
即得，
∴y关于x的函数解析式是，0＜x＜4；
（2）∵AD=BF，AD=BC，
∴BF=BC,
在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴=1，
即得FG=EG，
于是，由∠EAF=90°，得AG=FG，
∴∠FAG=∠AFG，
∴∠AFE=∠DAE，
于是，由∠EAF=∠D，∠AFE=∠DAE，得△AEF∽△DEA；
（3）当点E在边CD上移动时，△AEG能成为等腰三角形，
此时，①当AG=EG时，DE=；
②当AE=GE时，DE=；
③当AG=AE时，DE=。