题目

题型：江苏中考真题难度：来源：

如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点。
⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点；
⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数。

答案

解：⑴在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中线，
∴CD=AB，
∴CD=BD，
∴∠BCE=∠ABC，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠ACB，
∴△BCE∽△ABC，
∴E是△ABC的自相似点；
⑵①作图“略”；作法如下：
（i）在∠ABC内，作∠CBD=∠A；
（ii）在∠ACB内，作∠BCE=∠ABC；BD交CE于点P，则P为△ABC的自相似点；
②连接PB、PC，
∵P为△ABC的内心，
∴，，
∵P为△ABC的自相似点，
∴△BCP∽△ABC，
∴∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+2∠A+4∠A=180°，
∴，
∴该三角形三个内角的度数分别为。