题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF。
（1）求证：∠ADP=∠EPB；
（2）求∠CBE的度数；
（3）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由。

答案

解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∵∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPB=90°，
∴∠ADP=∠EPB；
（2）过E点作EG⊥AB交AB的延长线于点G，则
∠EGP=∠A=90°，
又∵∠ADP=∠EPB，PD=PE，
∴△PAD≌△EGP，
∴EG=AP，AD=AB=PG，
∴AP=EG=BG，
∴∠CBE=∠EBG=45°；
（3）当时，△PFD∽△BFP，
∵∠ADP=∠FPB，∠A=∠PBF，
∴△ADP∽△BPF，
设AD=AB=a，则AP=PB=a，
∴BF=BP·，
∴PD=，PF=，
∴，
又∵∠DPF=∠PBF=90°，
∴△PFD∽△BFP。