题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC。
（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；
（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形。

答案

证明：（1）∵点E是BC的中点，BC=2AD，
∴EC=BE=BC=AD，
又∵AD∥DC，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AE∥DC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
∴△AOE∽△COF。

（2）连接DE，
∵AD平行且等于BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∠ABE=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴GE=GA=GB=GD=BD=AE，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴EF、GE是△CBD的两条中线，
∴EF=BD=GD，GE=CD=DF，
又GE=GD，
∴EF=GD=GE=DF,
∴四边形EFDG是菱形。