题目
题型:湖北省中考真题难度:来源:
(1)求AD的长及抛物线的解析式;
(2)一动点P从点E出发,沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动,同时动点Q从点C出发,沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动,当点P运动到点C时,两点同时停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似?
(3)点N在抛物线对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使以M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M与点N的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由.
答案
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°,AB=CO=8,AO=BC=10.
由题意,△BDC≌△EDC.
∴∠B=∠DEC=90°,EC=BC=10,ED=BD.
由勾股定理易得EO=6.
∴∴AE=10﹣6=4,
设AD=x,则BD=ED=8﹣x,由勾股定理,得x2+42=(8﹣x)2,
解得,x=3,∴AD=3.
∵抛物线y=ax2+bx+c过点D(3,10),C(8,0),
∴,
解得
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+x.
(2)∵∠DEA+∠OEC=90°,∠OCE+∠OEC=90°,
∴∠DEA=∠OCE,
由(1)可得AD=3,AE=4,DE=5.
而CQ=t,EP=2t,∴PC=10﹣2t.
当∠PQC=∠DAE=90°,△ADE∽△QPC,
∴=,即=,
解得t=.
当∠QPC=∠DAE=90°,△ADE∽△PQC,
∴=,即=,
解得t=.
∴当t=或时,以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似.
(3)假设存在符合条件的M、N点,分两种情况讨论:
①EC为平行四边形的对角线,由于抛物线的对称轴经过EC中点,若四边形MENC是平行四边形,那么M点必为抛物线顶点;
则:M(4,);而平行四边形的对角线互相平分,那么线段MN必被EC中点(4,3)平分,则N(4,﹣);
②EC为平行四边形的边,则ECMN,设N(4,m),则M(4﹣8,m+6)或M(4+8,m﹣6);
将M(﹣4,m+6)代入抛物线的解析式中,得:m=﹣38,此时 N(4,﹣38)、M(﹣4,﹣32);
将M(12,m﹣6)代入抛物线的解析式中,得:m=﹣26,此时 N(4,﹣26)、M(12,﹣32);
综上,存在符合条件的M、N点,且它们的坐标为:
①M1(﹣4,﹣32),N1(4,﹣38)
②M2(12,﹣32),N2(4,﹣26)
③M3(4,),N3(4,﹣).
核心考点
试题【如图,在矩形OABC中,AO=10,AB=8,沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点B落在OA边上的点E处.分别以OC,OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直】;主要考察你对相似三角形的判定等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)△FDM∽△ ,△F1D1N∽△ ;
(2)求电线杆AB的高度。
(1)证明:△BDE∽△FDA;
(2)试判断直线AF与⊙O的位置关系,并给出证明.
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