题目
题型:不详难度:来源:
答案
如图,作∠BAC的平分线AD,则∠BAD=∠DAC=∠B,
∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B.
故△ACD△BCA.于是,b/a=CD/b.①
又由角平分线定理知b/c=CD/BD.从而,= =.②
由式①、②得=.
故a2=b(b+c).
若(b,c)=d,则由式①知d|a,故不妨设(b,c)=1.于是,可令
b=m2,b+c=n2.则a=mn,c=n2-m2.
由∠A>∠B>∠C,知a>b>c,即mn>m2>n2-m2.
故m<n< m.③
又m、n为正整数,从而, m-m>1,即m> +1.④
设△ABC的面积为S,由海伦公式知
S=n(n+m)(n-m)·.
由式④知m≥3.又由式③容易验证:
当3≤m≤7时,只有m=5时,n=6, =8(有理数),此时,
S=14×6×11×1×8=132.
下证当m≥8,n≥9时,S>162.
由式③、④知(2m+n)(2m-n)>3m(2m- m)=(6-3)m2>(6-4)m2=(2-)2m2,
n(n+m)(n-m)>n(1+n)×1= (2+ )n2.
由式⑤知 S>14×12(2+ 2)n2(2- 2)m=14n2
则当m≥8,n≥9时,有S>162.
故S的最小值为132,此时,m=5,n=6.所以,a=30,b=25,c=11时,△ABC
面积最小,最小值为132.
解析
核心考点
举一反三
求使不等式S△BGF·S△CGE≤kS2△ABC恒成立的k的最小值.
A.①②③ |
B.①②④ |
C.①③④ |
D.②③④ |
求证:AB=DE.
A.9,12,15 | B.4,4,8 | C. | D.12,35,36 |
A.9 | B.8 | C.7 | D.6 |
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