题目

题型：不详难度：来源：

三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠A＝36°．

小题1:在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；
小题2:△BCD是不是黄金三角形，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
小题3:设，试求k的值；
小题4:如图2，在△A₁B₁C₁中，已知A₁B₁＝A₁C₁，∠A₁＝108°，且A₁B₁＝AB，
请直接写出的值．

答案

小题1:如图所示

小题2:△BCD是黄金三角形．
证明如下：  
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°．
又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BCD是黄金三角形．
小题3:设BC＝x，AC＝y，
　　 由（2）知，AD＝BD＝BC＝x．
∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
　　 ∴△BDC∽△ABC，
　　 ∴，即，
整理，得，
解得．/
因为x、y均为正数，所以．
小题4:
理由：延长BC到E，使CD＝AC，连接AE．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝72°，
∴∠ACE＝180°－72°＝108°，
∴∠ACE＝∠B₁A₁C₁．
∵A₁B₁＝AB，
∴AC＝CE＝A₁B₁＝A₁C₁，
∴△ACE≌△B₁A₁C₁，
∴AE＝B₁C₁．
由（3）知，，
∴，，
∴．

解析

 略