题目

题型：不详难度：来源：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC∶BC=4∶3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动
小题1:求AC、BC的长；
小题2:设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm²），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式；
小题3:当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；

答案

小题1:AC=8cm，BC=6cm
小题2:y=﹣x²+8x（0＜x≤3）
小题3:见解析。

解析

解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
即：（4x）²+（3x）²=10²，解得：x=2，
∴AC=8cm，BC=6cm；……………………………………………..…….2分
（2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，

∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，
∵△QHB∽△ACB，
∴，∴QH=x，………..3分
y=BP•QH=（10﹣x）•x
=﹣x²+8x（0＜x≤3），………………………………………………….4分
②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，

∵AP=x，∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，
∵△AQH′∽△ABC，
∴，即：，解得：QH′=（14﹣2x），…..5分
∴y=PB•QH′=（10﹣x）•（14﹣2x）
=x²﹣x+42（3＜x＜7）；……….6分
（3）∵AP=x，∴AQ=14﹣2x，

∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，
∴，即：，………………7分
解得：x=，PQ=，
∴PB=10﹣x=，……………….8分
∴，
∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似；