题目

题型：不详难度：来源：

问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．

(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上．____ ▲_______
(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为a、2a、a(a＞0)，请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积．
(3)若△ABC三边的长分别为、、2 (m＞0，n＞0，且m≠n)，试运用构图法求出这三角形的面积．

答案

（1）（2）如图：，3a² (3) 5mn

解析

（1）；……2分
（2）如图：

S_△ABC=2a×4a-a×2a-×2a×2a-a×4a=3a²；……2分
（3）解：构造△ABC所示，

S_△ABC=3m×4n-×m×4n-×3m×2n-×2m×2n=5mn．……3分
（1）△ABC的面积=3×3-1×2÷2-1×3÷2-2×3÷2=3.5；
（2）a是直角边长为a，2a的直角三角形的斜边；2a是直角边长为2a，2a的直角三角形的斜边；a是直角边长为a，4a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；
（3）结合（1），（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积．