题目

题型：不详难度：来源：

两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图（1）摆放，使直角顶点重合．将图（1）中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图（2），点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点．

（1）不添加辅助线，写出图（2）中所有与△BCF全等的三角形；
（2）将图（2）中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D₁E₁C，点F、G、H的对应点分别为F₁、G₁、H₁，如图（3），探究线段D₁F₁与AH₁之间的数量关系，并写出推理过程；
（3）在（2）的条件下，若D₁E₁与CE交于点I，求证：G₁I=CI．

答案

（1）△AGH，△CEH，△DGF
（2）D₁F₁=AH₁，提示:证△BCF₁≌△E₁CH₁（ASA）
从而得CF₁＝CH₁
∴D₁F₁＝AH₁
（3）连结CG₁
由（2）得D₁F₁＝AH₁，可证得△D₁G₁F₁≌△AG₁H₁（AAS）
可得D₁G₁＝AG₁，再证△D₁G₁C≌△AG₁C（SAS）
可得∠D₁CG₁＝∠ACG₁＝∠D₁CA＝×15°＝7．5 °
∴∠ICG₁＝37．5°，又可求得∠CIE₁＝75°
∴∠CG₁I＝37．5°，∴∠ICG₁＝∠IG₁C
∴CI＝G₁I

解析

（1）根据全等三角形的判断解答（2）证得△BCF₁≌△E₁CH₁，求得CF₁＝CH₁，从而得到结论（3）连结CG₁，通过证得△D₁G₁F₁≌△AG₁H₁和△D₁G₁C≌△AG₁C，可得∠D₁CG₁＝∠ACG₁＝∠D₁CA，从而求得结论