题目

题型：不详难度：来源：

阅读下面材料：
小腾遇到这样一个问题：如图1，在中，点在线段上，，，，，求的长．

小腾发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：的度数为         ，的长为            ．
参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形中，，，，与交于点，，，求的长．

答案

∠ACE的度数为75°，AC的长为3.  

解析

试题分析：由CE//AB可知∠ACE=∠BAD=75°，又∠CAD=30°，可知△ACE是等腰三角形，又CE//AB可知△ABD∽△CED，由相似的性质可知DE=1，所以AD=AC=AE+CE=3
图3中，由已知的条件可知△ACD是等腰三角形，因为∠BAC=90°，因此可过点D作DF⊥AC，然后利用相似、三角函数、勾股定理加以解决
试题解析：图（2）：∠ACE的度数为75°，AC的长为3.
图（3）：过点D作DF⊥AC于F

∵∠BAC=90°
∴AB//DF
∴△ABE∽△FDE

∴EF=1
∵在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°
∴∠ACD=75°
∴AC=AD
∵DF⊥AC
∴∠AFD=90°
在△AFD中，AF＝２+１＝３，∠FAD＝３０°
∴DF＝AFtan30°＝，AD=2DF=2
∴AC=2，AB=2DF==2