题目

题型：不详难度：来源：

阅读下列材料：
任意给定一个矩形ABCD，如果存在另一个矩形A"B"C"D"，使它的周长和面积分别是矩形ABCD周长和面积的k倍（k≥2，且k是整数）．那么我们把矩形A"B"C"D"叫做矩形ABCD的k倍矩形．
例如：矩形ABCD的长和宽分别为3和1，它的周长和面积分别为8和3；矩形A"B"C"D"的长和宽分别为4+

10

和4-

10

，它的周长和面积分别为16和6，这时，矩形A"B"C"D"的周长和面积分别是矩形ABCD周长和面积的2倍，则矩形A"B"C"D"叫做矩形ABCD的2倍矩形．
解答下列问题：
（1）填空：一个矩形的周长和面积分别为10和6，则它的2倍矩形的周长为______，面积为______．
（2）已知矩形ABCD的长和宽分别为2和1，那么是否存在它的k倍矩形A"B"C"D"，且A"B"：AB=B"C"：BC？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵这个矩形的周长和面积分别为10和6，
它的2倍矩形的周长=10×2=20；2倍矩形的面积=6×2=12；

（2）不存在．若存在，
∵A"B"：AB=B"C"：BC，
∴A"B"：B"C"=AB：BC=2：1（设AB是长边）．
又∵2（A"B"+B"C"）=k•2（AB+BC），
∴B"C"=k，A"B"=2k．
∴k×2k=k×2，
∴k²=k，
∴k=0或1．
∵k≥2，
∴不存在满足条件的k．