题目
题型:不详难度:来源:
某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线将一个面积为的图形分成两部分,这两部分的面积分别为,,如果,那么称直线为该图形的黄金分割线.
(1)研究小组猜想:在中,若点为边上的黄金分割点(如图2),则直线是的黄金分割线.你认为对吗?为什么?
(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?
(3)研究小组在进一步探究中发现:过点任作一条直线交于点,再过点作直线,交于点,连接(如图3),则直线也是的黄金分割线.
请你说明理由.
(4)如图4,点是的边的黄金分割点,过点作,交于点,显然直线是的黄金分割线.请你画一条的黄金分割线,使它不经过各边黄金分割点.
答案
解析
设的边上的高为.
,,,
所以,,.··············· 2分
又因为点为边的黄金分割点,所以有.因此.
所以,直线是的黄金分割线.·············· 4分
(2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时,即
,所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线.········ 6分
(3)因为,所以和的公共边上的高也相等,
所以有.························· 7分
设直线与交于点.所以.
所以
,.
又因为,所以.··········· 9分
因此,直线也是的黄金分割线.··············· 10分
(4)画法不惟一,现提供两种画法;·················· 12分
画法一:如答图1,取的中点,再过点作一条直线分别交,于,点,则直线就是的黄金分割线.
画法二:如答图2,在上取一点,连接,再过点作交于点,连接,则直线就是的黄金分割线.
(1)由于是同高,而点为边的黄金分割点,则,所以,故直线是的黄金分割线
(2)只需判断它们面积比是否相等,若相等则中线是三角形的黄金分割线,否则不是
(3)根据平行线间的距离相等,则,通过图形面积的转化,直线分三角形的图形面积有,故直线也是的黄金分割线
(4)画法不惟一,只需分成图形面积比相等即可
核心考点
试题【如图1,点将线段分成两部分,如果,那么称点为线段的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线】;主要考察你对相似图形等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)过点作对角线的垂线,垂足为点.求的长与时间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(2)在点运动过程中,当点关于直线的对称点恰好落在对角线上时,求此时直线的函数解析式;
(3)探索:以三点为顶点的的面积能否达到矩形面积的?请说明理由.
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
①②③④⑤
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
(1)求的值.
(2)若为轴上的点,且求经过、两点的直线的解析式,并判断与是否相似?
(3)若点在平面直角坐标系内,则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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