题目
题型:不详难度:来源:
(1)△AEF与△EFC是否相似?若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理由;
(2)设=k,是否存在这样的k值,使得△AEF与△BFC相似,若存在,证明你的结论并求出k的值;若不存在,说明理由.
答案
【证明】延长FE,与CD的延长线交于点G.
在Rt△AEF与Rt△DEG中,
∵ E是AD的中点,
∴ AE=ED.
∵ ∠AEF=∠DEG,
∴ △AFE≌△DGE.
∴ ∠AFE=∠DGE.
∴ E为FG的中点.
又 CE⊥FG,
∴ FC=GC.
∴ ∠CFE=∠G.
∴ ∠AFE=∠EFC.
又 △AEF与△EFC均为直角三角形,
∴ △AEF∽△EFC.
① 存在.
如果∠BCF=∠AEF,即k==时,△AEF∽△BCF.
证明:当=时,=,
∴ ∠ECG=30°.
∴ ∠ECG=∠ECF=∠AEF=30°.
∴ ∠BCF=90°-60°=30°.
又 △AEF和△BCF均为直角三角形,
∴ △AEF∽△BCF.
② 因为EF不平行于BC,
∴ ∠BCF≠∠AFE.
∴ 不存在第二种相似情况.
解析
(2)要想使两三角形相似,已知的条件有一组直角,那么分两种情况进行讨论:
当∠AFE=∠FCB时,那么∠AFE就和∠BFC互余,因此∠EFC就是直角,而∠FEC也是直角因此这种情况是不成立的;
当∠AEF=∠FCB时,AE:BC=AF:BF,那么由于E是AD中点,因此BC=2AE,所以我们可得出BF=2AF,即AB=3AF,又根据(1)中AF=GD,AB=CD,我们可在△CEG中根据△EGD和△EDC相似,得出关于GD、ED、DC的比例关系,也就是AF、AB、AE的比例关系,有了AB=3AF,就能求出ED与AF的比例关系,也就求出了BC与AF的比例关系,以AF为中间值即可得出AB与BC的比例关系,也就求出了k的值
核心考点
试题【如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点,EF⊥EC交AB于F,连结FC(AB>AE).(1)△AEF与△EFC是否相似?若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理】;主要考察你对相似图形等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.三角形的形状不变,三边的比变大 | B.三角形的形状变,三边的比变大 |
C.三角形的形状变,三边的比不变 | D.三角形的形状不变,三边的比不变 |
求(1)几秒时PQ∥AB
(2)设△OPQ的面积为y,求y与t的函数关系式
(3)△OPQ与△OAB能否相似,若能,求出点P的坐标,若不能,试说明理由
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