题目
题型:不详难度:来源:
(1)如图1,求证:AE=DF;
(2)如图2,若AB=2,过点M作 MG⊥EF交线段BC于点G,求证:△GEF是等腰直角三角形
(3)如图3,若AB=,过点M作 MG⊥EF交线段BC的延长线于点G.
①直接写出线段AE长度的取值范围;
②判断△GEF的形状,并说明理由.
答案
(3)①<AE≤. ②△GEF是等边三角形
解析
试题分析:解:(1)证明:如图1,在矩形ABCD中,∠EAM=∠FDM=90°,∠AME=∠FMD.
∵M是AD的中点,∴AM=DM,
∴△AEM≌△DFM(ASA).
∴AE=DF. 2分
(2)证明:如图2,过点G作GH⊥AD于H,
∴∠A=∠B=∠AHG=90°,
∴四边ABGH为矩形,
∴∠AME+∠AEM=90°,
∵MG⊥EF,
∴∠GME=90°.
∴∠AME+∠GMH=90°
∴∠AEM=∠GMH.
∵AD=4,M是AD的中点
∴AM=2
∵四边ABGH为矩形,
∴AB=HG=2
∴AM=HG
∴△AEM≌△HMG(AAS).
∴ME=MG.
∴∠EGM=45°.
由(1)得△AEM≌△DFM,
∴ME=MF.
∵MG⊥EF,
∴GE=GF.
∴∠EGF=2∠EGM=90°.
∴△GEF是等腰直角三角形. 5分
(3 )①当C、G重合时,如图4,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ADC=90°,
∴∠AME+∠AEM=90°.
∵MG⊥EF,
∴∠EMG=90°.
∴∠AME+∠DMC=90°,
∴∠AEM=∠DMC,
∴△AEM∽△DMC
∴,
∴,
∴AE=
当E、B重合时,AE最长为,
∴<AE≤. 7分(注:此小问只需直接写出结果即可)
②如图3,△GEF是等边三角形.
证明:过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H,
∵∠A=∠B=∠AHG=90°,
∴四边形ABGH是矩形.
∴GH=AB=2.
∵MG⊥EF,
∴∠GME=90°.
∴∠AME+∠GMH=90°.
∵∠AME+∠AEM=90°,
∴∠AEM=∠GMH.
又∵∠A=∠GHM=90°,
∴△AEM∽△HMG.
∴.
在Rt△GME中,
∴tan∠MEG==.
∴∠MEG=60°.
由(1)得△AEM≌△DFM.
∴ME=MF.
∵MG⊥EF, ∴GE=GF.
∴△GEF是等边三角形. 9分
点评:此题比较综合,四边形的相关性质和定理一般都由三角形性质和定理得来,故在解四边形时,通常会结合三角形的性质与定理帮助解题,难度适中。
核心考点
试题【如图,在矩形ABCD中,AD=4,M是AD的中点,点E是线段AB上一动点,连接EM并延长交线段CD的延长线于点F.(1)如图1,求证:AE=DF;(2)如图2,】;主要考察你对相似图形等知识点的理解。[详细]
举一反三
题目:如图1,在平行四边形ABCD中,点E是BC的中点,点F在线段AE上,BF的延长线交射线CD于点G,若,求的值。
(1)尝试探究
在图1中,过点E作EH∥AB交BG于点H,则易求的值是 ,的值是
,从而确定的值是 。
(2)类比延伸
如图2,在原题的条件下,若,则的值是 。(用含m的代数式表示),写出解答过程。
(3)拓展迁移
如图3,在梯形ABCD中,DC∥AB,点E是BC延长线上的一点,AE和BD相交于F,若,(a>0,b>0),则的值是 。(用含a、b的代数式表示)写出解答过程。
A.AB2=ACBC | B.BC2=ACAB | C.AC2=BCAB | D.AC2=2ABBC |
A.1 :3 | B.1 :9 | C.3 :1 | D.1 :81 |
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