题目

题型：北京难度：来源：

如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B，
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值．

答案

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°；
∴∠CAB+∠CBA=90°；
又∠PAC=∠B，
∴∠CAB+∠PAC=90°；
∴∠PAB=90°；
即PA是⊙O的切线．

（2）设CE=6x，AE=2y，则DE=5x，BE=3y；
由相交弦定理，得：AE?EB=CE?DE，即：
2y?3y=5x?6x，解得：

5

x=y；
∵∠ACD=∠ABD，∠AEC=∠DEB，
∴△AEC∽△DEB，则有：

AC

BD

=

AE

DE

；
∵AE=2y=2

5

x，DE=5x，
∴

AC

BD

=

2 5

5

，由于AC=8，则BD=4

5

；
设BC=m，同理可求得AD=

5

3

m；
∵AB是直径，∴△ACB、△ADB是直角三角形；
由勾股定理，得：AB²=AC²+BC²=AD²+BD²，即：
8²+m²=（

5

3

m）²+（4

5

）²，解得m=6；
故BC=6，AD=2

5

；
∴AB=

AC2+BC2

=10，tan∠ECB=tan∠DAB=

BD

AD

=2．