有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过一次“生长”后，变成了右图，如果继续 - 初中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过一次“生长”后，变成了右图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．请你算出“生长”了n次后形成的图形中所有正方形的面积和是（　　）

A．n

B．n+1

C．n²

D．（n+1）²

答案

设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a²+b²=c²，
即：正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1；

所有正方形的面积之和为2=（1+1）×1；
正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积，
正方形M的面积+正方形N的面积=正方形B的面积，
正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的面积，
=正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1，
所有正方形的面积之和为3=（2+1）×1，
…
推而广之，“生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（n+1）×1=n+1，
故选B．

核心考点

试题【有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过一次“生长”后，变成了右图，如果继续】；主要考察你对勾股定理等知识点的理解。[详细]

举一反三

木工师傅做一个人字形屋梁，如图所示，上弦AB=AC=4m，跨度BC为6m，现有一根长为3m的木料打算做中柱AD（AD是△ABC的中线），请你通过计算说明这根木料的长度是否适合做中柱AD．（只考虑长度、不计损耗）