题目

题型：四川省期末题难度：来源：

如图①，在Rt△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，G、F分别是AB、AC上的两点，且GF∥BC，AF=2，BG= 4。
（1）求梯形BCFG的面积；
（2）有一梯形DEFG与梯形BCFG重合，固定△ABC，将梯形DEFG向右运动，直到点D与点C重合为止，如图②，
①若某时段运动后形成的四边形BDG"G中，DG⊥BG"，求运动路程BD的长，并求此时G"B²的值；
②设运动中BD的长度为x，试用含x的代数式表示出梯形DEFG与Rt△ABC重合部分的面积S。

答案

解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°
又∵GF∥BC，  ∴∠AGF=∠AFG=45°  ∴AG=AF=2，  AB=AC=6
∴
（2）①∵在运动过程中有DG"∥BG且DG"=BG，  ∴BDG"G是平行四边形
当DG⊥BG"时，BDG"G是菱形  ∴BD=BG=4
如图③，当BDG"G为菱形时，过点G"作G"M⊥BC于点M
在Rt△G"DM中，∠G"DM=45°，DG"=4，∴DM=G"M且
∴DM=G"M=，∴BM=    连接G"B
在Rt△G"BM中，
②当0≤x≤时，其重合部分为梯形，如图②
在Rt△AGF与Rt△ABC中，，
过G点作GH垂直BC于点H，得GH=。
由①，知BD=GG"=x，DC=，
∴
当≤x≤时，其重合部分为等腰直角三角形，如图③
∵斜边DC=，斜边上的高为，
∴