题目

题型：福建省期末题难度：来源：

如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AD=2，AB=8，CD=10．
（1）求梯形ABCD的周长；
（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：
①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）过点D作DE⊥BC于点E 
       ∵四边形ABCD是直角梯形
       ∴四边形ABED是矩形
       ∴AD=BE=2，AB=DE=8
      在Rt△DEC中，CE===6 
     ∴梯形ABCD的周长= AB+BC+CD+DA=28；
（2）① ∵梯形ABCD的周长为28，PQ平分梯形ABCD的周长
              ∴BP+BC+CQ=14 又∵BP=CQ=t
               ∴t+8+t=14    ∴t=3
∴当t=3时，PQ平分梯形ABCD的周长；
②（i）当0≤t≤8时，过点Q 作QG⊥AB于点G 
    
     
      若DQ=PD，则（10-t）²= t²+16t+68，解得：t=8； 
      若DQ=PQ，则（10-t）²=
  解得：t₁= ，t₂=＞8（舍去），此时t=； 
 （ii）当8＜t＜10时，PD=DQ=10-t，
    ∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立；
     而当t=10时，点P、D、Q三点重合，无法构成三角形；
（iii）当10＜t≤12时，PD=DQ= t-10，
     ∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立；
     综上所述，当t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，
   以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形