题目

题型：中考真题难度：来源：

（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45 °，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90 °，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45 °，BE＝4，DE=10， 求直角梯形ABCD的面积。

答案

解：（1）在正方形ABCD中，
∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，
∴△CBE≌△CDF，
∴CE＝CF；
（2）如图2，延长AD至F，使DF=BE．连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE＝∠DCF，
∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD
即∠ECF＝∠BCD＝90°，
又∠GCE＝45°，
∴∠GCF＝∠GCE＝45°，
∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，
∴△ECG≌△FCG，
∴GE＝GF
∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD；
（3）如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠B＝90°，
又∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCD 为正方形，
∴AG＝BC，
已知∠DCE＝45°，
根据（1）（2）可知，ED＝BE＋DG，
所以10=4+DG，即DG=6，
设AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6
在Rt△AED中，  
∵，即，
解这个方程，得：x＝12，或x＝-2（舍去），
∴AB＝12，
所以梯形ABCD的面积为S=
答：梯形ABCD的面积为108。


                      （图3）