题目

题型：不详难度：来源：

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB为边作正方形ABEF，EP⊥l于P．


求证：2EP+AD=2CD．

答案

证明：作AH⊥BC于H，延长EP交AH于G，
∵l是AD的垂直平分线，
∴AM=MD=

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AD，l∥AH，
又∵四边形ABCD是直角梯形，
∴四边形AHCD是矩形，
∴AH=CD，
∵PE⊥l，
∴EG⊥AH，
∴四边形AGPM是矩形，
∴GP=AM=

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2

AD，
∴∠AHB=∠AGE=90°，
∴∠1+∠2=90°，
在正方形ABFE中，AB=AE，∠BAE=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABH和△EAG中，

∠1=∠3 ∠AHB=∠AGE AB=EA

，
∴△ABH≌△EAG（AAS），
∴AH=EG，
∴CD=GP+PE=

1

2

AD+PE，
即2CD=AD+2PE．