题目

题型：山东省模拟题难度：来源：

请阅读下列材料：
问题：如图，在正方形ABCD和平行四边形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG，PC。探究：当PG与PC的夹角为多少度时，平行四边形BEFG是正方形？
小聪同学的思路是：首先可以说明四边形BEFG是矩形；然后延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案。
请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题：
（1）求证：四边形BEFG是矩形；
（2）PG与PC的夹角为度时，四边形BEFG是正方形。

答案

解：（1）∵正方形ABCD中，∠ABC=90°，
∴∠EBG=90°，
∴□BEFG是矩形；（2）90°；
理由：延长GP交DC于点H
∵正方形ABCD和平行四边形BEFG中，AB∥DC，BE∥GF，
∴DC∥GF，
∴∠HDP=∠GFP，∠DHP=∠FGP，
∵P是线段DF的中点，
∴DP=FP，
∴△DHP≌△FGP，
∴HP=GP，
当∠CPG=90°时，∠CPH=CPG，
∵CP=CP，
∴△CPH≌△CPG，
∴CH=CG，
∵正方形ABCD中，DC=BC，
∴DH=BG，
∵△DHP≌△FGP，
∴DH=GF，
∴BG=GF，
∴□BEFG是菱形，由（1）知四边形BEFG是矩形，
∴四边形BEFG是正方形。