Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接OD、DE．①求证：直线DE是⊙O的切线．②当⊙O的半径为，DE=1时 - 初中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：湖北省月考题难度：来源：

Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接OD、DE．
①求证：直线DE是⊙O的切线．
②当⊙O的半径为

，DE=1时，求AD长．
③探究：当Rt△ABC的边AB、BC满足什么条件时，四边形OBED是正方形？说明理由．

答案

解：如下图所示，连接BD，
(1)∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB=OD，
∴∠OAD=∠ODA，∠ODB=∠OBD，
同理在Rt△BDC中，E是BC的中点，
∴∠EDB=∠EBD，
∵∠OAD+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠OAD=∠CBD，
∴∠ODA=∠EBD，
又∵∠ODA+∠ODB=90°，
∴∠EBD+∠ODB=90°，
即∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线．
（2）∵⊙O的半径为

时，
∴AB=2

，
又∵E为BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
故AD=DC，
∴AD=

．
（3）当AB=BC时，三角形为等腰直角三角形，此时，四边形OBED是正方形．
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴O、E为AB、BC中点，
∴OB=BE，
又∵∠OBE=∠ODE=90°，
∴四边形OBED是正方形．

核心考点

试题【Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接OD、DE．①求证：直线DE是⊙O的切线．②当⊙O的半径为，DE=1时】；主要考察你对正方形等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，正方形木框ABCD的边长为1，四个角用铰链接着，一边BC固定在桌面上，沿AD方向用力推．正方形变成四边形A′BCD′，设A′D′交DC于点E，当E是DC的中点时，两四边形ABCD、A′BCD′重叠部分的面积是（）．

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如图，正方形ABCD，以AD为边作等边△ADE，则∠AEB的度数为 _________ ．

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如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE=AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为

，求正方形边长．

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在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F．

（1）如图1，请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系．直接写出结论．
（2）若点P在DC的延长线上（如图2），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系，并证明．
（3）若点P在CD的延长线上呢（如图3）？请分别直接写出结论并简要说明理由．

题型：广东省月考题难度：| 查看答案

如图①，ABCD是一张正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上（如图②），折痕交AE于点G，那么∠ADG等于（）度．

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