题目

题型：北京期中题难度：来源：

已知：，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧
（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；
（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．

答案

解：（1）①如图，作AE⊥PB于点E，
∵△APE中，∠APE=45°，PA=，
∴AE=PE=×=1，
∵PB=4，
∴BE=PB﹣PE=3，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴AB==．
②：如图，因为四边形ABCD为正方形，
可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P"AB，
可得△PAD≌△P"AB，PD=P"B，PA=P"A．
∵∠PAP"=90°，∠APP"=45°，∠P"PB=90°
∴PP′=PA=2，
∴PD=P′B===；．
（2）如图所示，将△PAD绕点A顺时针旋转90°
得到△P"AB，PD的最大值即为P"B的最大值，
∵△P"PB中，P"B＜PP"+PB，
PP′=PA=2，PB=4，
且P、D两点落在直线AB的两侧，
∴当P"、P、B三点共线时，P"B取得最大值（如图）
此时P"B=PP"+PB=6，即P"B的最大值为6．
此时∠APB=180°﹣∠APP"=135度．