题目

题型：重庆市期末题难度：来源：

正方形ABCD中，E点为BC中点，连接AE，过B点作BF⊥AE，交CD于F点，交AE于G点，连接GD，过A点作AH⊥GD交GD于H点。
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）若正方形边长为4，AH=，求△AGD的面积。

答案

解：（1）正方形ABCD中，∠ABE=90°，

∴∠1+∠2=90°，又AE⊥BF，
∴∠3+∠2=90°，则∠1=∠3            
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC
在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF（ASA）；        
（2）延长BF交AD延长线于M点，
∴∠MDF=90°            
由（1）知△ABE≌△BCF，
∴CF=BE
∵E点是BC中点，
∴BE=BC，
即CF=CD=FD，
在△BCF和△MDF中，

∴△BCF≌△MDF（ASA）
∴BC=DM，
即DM=AD，D是AM中点                        
又AG⊥GM，即△AGM为直角三角形，
∴GD=AM=AD
又∵正方形边长为4，
∴GD=4S_△AGD=GD·AH=×4×=。