题目

题型：浙江省期末题难度：来源：

正方形四边条边都相等，四个角都是90°。如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，点E是直线MN上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG。
（1）如图1，当点E在线段BC上（不与点B、C重合）时：
①判断△ADG与△ABE是否全等，并说明理由；
②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，观察并猜测线段BE与线段CH的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点E在射线CN上（不与点C重合）时：
①判断△ADG与△ABE是否全等，不需说明理由；
②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，已知GD=4，求△CFH的面积。

答案

解：
（1）①△BAE≌△DAG．理由如下：
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，
∴∠BAE=∠DAG。
∴△BAE≌△DAG；
②CH=BE．理由如下：
由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，由①得∠FEH=∠BAE=∠DAG，
又∵G在射线CD上，∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，AG=AE=EF，
∴∠BAE=∠DAG=∠EFH，
∴△EFH≌△GAD，△EFH≌△ABE，
∴EH=AD=BC，
∴CH=BE。
（2）①△BAE≌△DAG．理由如下：
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠ADG=∠ABE=90°，
∴在Rt△BAE与Rt△DAG中，
∴△BAE≌△DAG；（HL）
②由（1）同理可得：
△EFH≌△AGD，△EFH≌△AEB，
∴GD=FH=CH=4，
∴△CFH的面积为：FH·CH=×4×4=8。