题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知：△ABC为边长是4

3

的等边三角形，四边形DEFG为边长是6的正方形．现将等边△ABC和正方形DEFG按如图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，△ABC从图1的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿EF方向向右匀速运动，当点C与点F重合时暂停运动，设△ABC的运动时间为t秒（t≥0）．

（1）在整个运动过程中，设等边△ABC和正方形DEFG重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式；
（2）如图2，当点A与点D重合时，作∠ABE的角平分线BM交AE于M点，将△ABM绕点A逆时针旋转，使边AB与边AC重合，得到△ACN．在线段AG上是否存在H点，使得△ANH为等腰三角形．如果存在，请求出线段EH的长度；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，若四边形DEFG为边长为4

3

的正方形，△ABC的移动速度为每秒

3

个单位长度，其余条件保持不变．△ABC开始移动的同时，Q点从F点开始，沿折线FG-GD以每秒2

3

个单位长度开始移动，△ABC停止运动时，Q点也停止运动．设在运动过程中，DE交折线BA-AC于P点，则是否存在t的值，使得PC⊥EQ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）当0≤t＜2

3

时，S=

3

2

t2
当2

3

≤t≤6时，S=-

3

2

t2+12t-12

3

．
（2）当点A与点D重合时，BE=CE=2

3

，
∵BM平分∠ABE，
∴∠MBE=

1

2

∠ABE=30°
∴ME=2，
∵∠ABM=∠BAM，
∴AM=BM=4，
∵△ABM≌△ACN，
∴∠CAN=30°，AN=4
①AN=AH=4时，EH=

AE2+AH2

=2

13

，
②AN=NH=4时，此时H点在线段AG的延长线上，∴舍去，
③AH=NH时，此时H点为线段AN的中垂线与AG的交点，如图1，
∴AK=

1

2

AN=2，AH=

AK

cos∠HAK

=

4

3

3

∴EH=

AE2+AH2

=

2

3

93

．
（3）当0≤t＜2时，如图2，△PEC∽△EFQ，
∴

PE

EF

=

EC

QF

，
∴

3t

4 3

=

3 t

2 3 t

，
∴t=

2

3

3

；
当2≤t≤4时，如图3，△PEC∽△QDE，
∴

PE

DQ

=

EC

DE

，
∴

12-3t

8 3 -2 3 t

=

3 t

4 3

，
∴

3

t2-(6+4

3

)t+24=0
∴(

3

t-6)(t-4)=0，
∴t₁=4，t2=2

3

．