题目

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

如图，已知AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，B为切点，OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E。

（1）求证：∠OPB=∠AEC；
（2）若点C为半圆的三等分点，请你判断四边形AOEC为哪种特殊四边形？并说明理由。

答案

解：（1）∵AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，
∴PB⊥AB，
∴∠OPB+∠POB=90°，
∵OP⊥BC，
∴∠ABC+∠POB=90°，
∴∠ABC=∠OPB，
又∠AEC=∠ABC，
∴∠OPB=∠AEC；
（2）四边形AOEC是菱形；
∵OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，
∴，
∵C为半圆的三等分点，
∴，
∴∠ABC=∠ECB，
∴AB∥CE，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
又OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，
∴AC∥OE，
∴四边形AOEC是平行四边形，
又OA=OE，
∴四边形AOEC是菱形；