题目
题型:广阳区一模难度:来源:
(1)求证:ME=MF.
(2)如图2,若将原题中的“正方形”改为“菱形”,其他条件不变,探索线段ME与线段MF的关系,并加以证明.
(3)如图3,若将原题中的“正方形”改为“矩形”,且AB=mBC,其他条件不变,探索线段ME与线段MF的关系,并说明理
(4)根据前面的探索和图4,你能否将本题推广到一般的平行四边形情况?若能,写出推广命题;若不能,请说明理由.
答案
∵M是正方形ABCD的对称中心,
∴M是正方形ABCD对角线的交点,
∴AM平分∠BAD,
∴MH=MG
在正方形ABCD中,∠A=90°,
∵∠MHA=∠MGA=90°
∴∠HMG=90°,
在正方形QMNP,∠EMF=90°,
∴∠EMF=∠HMG.
∴∠FMH=∠EMG,
∵∠MHF=∠MGE.
∴△MHF≌△MGE,
∴MF=ME.(3分)
(2)ME=MF.证明:过点M作MH⊥AB于H,MG⊥AD于G,连接AM,
∵M是菱形ABCD的对称中心,
∴M是菱形ABCD对角线的交点,∴AM平分∠BAD,
∴MH=MG,
∵BC∥AD,
∴∠B+∠BAD=180°,
∵∠QMN=∠B,
∴∠QMN+∠BAD=180°
又∵∠MHA=∠MGA=90°,在四边形HMGA中,∠HMG+∠BAD=180°,
∴∠EMF=∠HMG.
∴∠FMH=∠EMG,
∵∠MHF=∠MGE,
∴△MHF≌△MGE,
∴ME=MF.(6分)
(3)MF=mME.
证明:过点M作MG⊥AB于G,MH⊥AD于H,
在矩形ABCD中,∠A=∠B=90°,
∴∠EMF=∠B=90°,
又∵∠MGA=∠MGE=90°,在四边形GMHA中,
∴∠GMH=90°,
∴∠EMG+∠GMF=∠GMF+∠HMF,
∴∠HMF=∠GME,
∵∠MGE=∠MHF,
∴△MGE∽△MHF,
∴
ME |
MF |
MG |
MH |
BC |
AB |
1 |
m |
又∵M是矩形ABCD的对称中心,
∴M是矩形ABCD对角线的中点
∴MG∥BC,
∴MG=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵AB=mBC,
∴MF=mME.(9分)
(4)平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中,∠M=∠B,AB=mBC,M是平行四边形ABCD的对称中心,MN交AD于F,AB交QM于E.则MF=mME.(10分)
核心考点
试题【如图1,正方形ABCD和正方形QMNP,∠M=∠B,M是正方形ABCD的对称中心,MN交AB于F,QM交AD于E.(1)求证:ME=MF.(2)如图2,若将原题】;主要考察你对矩形等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.两组对角分别相等的四边形是矩形 |
B.有两个角是直角的四边形是矩形 |
C.有一个角是直角的平行四边形是矩形 |
D.有一个角是直角,且一组对边相等的四边形是矩形 |
A.3:2 | B.2:1 | C.4:3 | D.1:1 |
A.菱形 | B.矩形 |
C.正方形 | D.以上结论都不对 |
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