题目

题型：不详难度：来源：

如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．

答案

已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，
它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2z及5x-2y+z．
因矩形对边相等，
所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z．
化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y，
消去z得18x=49y．
因为18与49互质，
所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，
此时z=38．
以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，
得长、宽分别为593和422．
此时得最小面积值是593×422=250246．