题目

题型：河南省期末题难度：来源：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x。
（1）当x的值为 _________ 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；
（2）当x的值为 _________ 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由。

答案

解：
（1）如图，分别过A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，
∵AM=DN，AD=MN=5，而CD=，∠C=45°，
∴DN=CN=CDsin∠C=4x=4=AM，
∴BM=CB﹣CN﹣MN=3，
若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形，则∠APC=90°或∠DPB=90°，当∠APC=90°时，
∵P与M重合，
∴BP=BM=3；
当∠DPB=90°时，
∴P与N重合，
∴BP=BN=8；
故当x的值为3或8时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；
（2）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE，有两种情况：
①当P在E的左边，
∵E是BC的中点，
∴BE=6，
∴BP=BE﹣PE=6﹣5=1；
②当P在E的右边，BP=BE+PE=6+5=11；故当x的值为1或11时，
以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
（3）由（2）知，当BP"=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形
∴EP=AD=5，过D作DN⊥BC于N，
∵CD=，∠C=45°，
则DN=CN=4，
∴NP"=BP"﹣BN=BP"﹣（BC﹣CN）=11﹣12+4=3．
∴DP"===5，
∴EP"=DP"，故此时□P"DAE是菱形。
即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形。