题目

题型：不详难度：来源：

已知：在四边形ABCD中，AC=BD，AC与BD交于点O，∠DOC=60度．
（1）当四边形ABCD是平行四边形时（如图1），证明AB+CD=AC；
（2）当四边形ABCD是梯形时（如图2），AB∥CD，线段AB、CD和线段AC之间的数量关系是______；
（3）如图3，四边形ABCD中，AB与CD不平行，结论AB+CD=AC是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．

答案

（1）在?ABCD中，
∵AC=BD
∴?ABCD为矩形
又∵∠DOC=60°，
∴∠AOB=60°，
又OA=OB=OC=OD，
∴AB=CD=OA=OC．
即AB+CD=AC；

（2）AB+CD=AC；
∵四边形ABCD是梯形，AC=BD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，


过B作AC的平行线，交DC的延长线于点E．则四边形ACEB是平行四边形，
∴AC=BE=BD，
∴∠BDC=∠E，∠E=∠ACD
∴∠BDC=∠ACD
又∵∠DOC=60°，
∴△DOC都是正三角形，
同理：△AOB是等边三角形．
∴OA=OB=AB，OD=OC=DC
即AB+CD=AO+C0=AC；

（3）不成立，应为AB+CD＞AC．
如图所示过B作BM∥AC，过C作CM∥AB，
则四边形ABMC为平行四边形，
∴CM=AB，BM=AC=BD，BM∥AC，
又∵∠DOC=60°，
∴∠DBM=∠DOC=60°
即三角形DBM为等边三角形，
∴BM=AC=DM


在△CDM中，CM+CD＞DM，
即AB+CD＞AC．