题目

题型：不详难度：来源：

在边长为2的正方形ABCD的四边上分别取点E、F、G、H、四边形EFGH四边的平方和EF²+FG²+GH²+HE²最小时其面积为          .

答案

2

解析

试题分析：利用勾股定理列出四边形EFGH四边的关系，利用配方法求得E、F、G、H为正方形ABCD四边的中点，从而问题得解．
在正方形ABCD中，
∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
AB=BC=CD=DA=2；
∴EF²+FG²+GH²+HE²=BE²+BF²+CF²+CG²+GD²+DH²+AH²+AE²，
=BE²+BF²+（2-BF）²+CG²+（2-CG）²+DH²+（2-DH）²+（2-BE）²，
=2（BE-1）²+2（BF-1）²+2（CG-1）²+2（DH-1）²+8≥8，
当EF²+FG²+GH²+HE²最小为8时，可得，
AE=BE=BF=CF=CG=DG=DH=AH，
即E、F、G、H为正方形ABCD四边的中点，
由此得出四边形EFGH为正方形，其面积为EF²=BF²+BE²=2．
点评：解题的关键是熟练掌握正方形的四条边相等，四个角都是直角.