题目
题型:不详难度:来源:
问题思考:
如图1,点P为线段AB上的一个动点,分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE.
(1)在点P运动时,这两个正方形面积之和是定值吗?如果时求出;若不是,求出这两个正方形面积之和的最小值.
(2)分别连接AD、DF、AF,AF交DP于点A,当点P运动时,在△APK、△ADK、△DFK中,是否存在两个面积始终相等的三角形?请说明理由.
问题拓展:
(3)如图2,以AB为边作正方形ABCD,动点P、Q在正方形ABCD的边上运动,且PQ=8.若点P从点A出发,沿A→B→C→D的线路,向D点运动,求点P从A到D的运动过程中,PQ的中点O所经过的路径的长。
(4)如图(3),在“问题思考”中,若点M、N是线段AB上的两点,且AM=BM=1,点G、H分别是边CD、EF的中点.请直接写出点P从M到N的运动过程中,GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值.
答案
(2)存在两个面积始终相等的三角形,图形见解析;
(3)PQ的中点O所经过的路径的长为6π;
(4)点O所经过的路径长为3,OM+OB的最小值为.
解析
试题分析:(1)设AP=x,则PB=1-x,根据正方形的面积公式得到这两个正方形面积之和=x2+(8-x)2,配方得到2(x-4)2+32,然后根据二次函数的最值问题求解;
(2)根据PE∥BF求得PK=,进而求得DK=PD-PK=a-=,然后根据面积公式即可求得;
(3)PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4,圆心角为90°的圆弧;
(4)GH中点O的运动路径是与AB平行且距离为3的线段XY上,然后利用轴对称的性质,求出OM+OB的最小值.
试题解析:(1)当点P运动时,这两个正方形的面积之和不是定值.
设AP=x,则PB=8-x,
根据题意得这两个正方形面积之和=x2+(8-x)2=2x2-16x+64=2(x-4)2+32,
所以当x=4时,这两个正方形面积之和有最小值,最小值为32;
(2)存在两个面积始终相等的三角形,它们是△APK与△DFK.
依题意画出图形,如图所示.
设AP=a,则PB=BF=8-a.
∵PE∥BF,
∴,
即,
∴PK=,
∴DK="PD-PK=" a-=,
∴S△APK=PK•PA=••a=,S△DFK=DK•EF=••(8-a)=,
∴S△APK=S△DFK;
(3)当点P从点A出发,沿A→B→C→D的线路,向点D运动时,不妨设点Q在DA边上,
若点P在点A,点Q在点D,此时PQ的中点O即为DA边的中点;
若点Q在DA边上,且不在点D,则点P在AB上,且不在点A.
此时在Rt△APQ中,O为PQ的中点,所以AO=PQ=4.
所以点O在以A为圆心,半径为4,圆心角为90°的圆弧上.
PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4,圆心角为90°的圆弧,如图所示:
所以PQ的中点O所经过的路径的长为:×2π×4=6π;
(4)点O所经过的路径长为3,OM+OB的最小值为.
如图,分别过点G、O、H作AB的垂线,垂足分别为点R、S、T,则四边形GRTH为梯形.
∵点O为中点,
∴OS=(GR+HT)=(AP+PB)=4,即OS为定值.
∴点O的运动路径在与AB距离为4的平行线上.
∵MN=6,点P在线段MN上运动,且点O为GH中点,
∴点O的运动路径为线段XY,XY=MN=3,XY∥AB且平行线之间距离为4,点X与点A、点Y与点B之间的水平距离均为2.5.
如图,作点M关于直线XY的对称点M′,连接BM′,与XY交于点O.
由轴对称性质可知,此时OM+OB=BM′最小.
在Rt△BMM′中,由勾股定理得:BM′=.
∴OM+OB的最小值为.
核心考点
试题【某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究,已知AB=8.问题思考:如图1,点P为线段AB上的一个动点,分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE】;主要考察你对平行四边形性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
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