题目

题型：专项题难度：来源：

如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°。
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为______，数量关系为______ ；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由；（画图不写作法）
（3）若AC=，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

答案

解：（1）①垂直；相等；
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
由正方形ADEF得，AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD，
∵∠BAC=90°， AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90°，即 CF⊥BD。

（2）画图正确，　　　　　　　
当∠BCA=45o时，CF⊥BD（如图丁），
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG，
可证：△GAD≌△CAF，
∴∠ACF=∠AGD=45o ，∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o，
即CF⊥BD。

（3）当具备∠BCA=45o时，
过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图戊）
∵DE与CF交于点P时，∴此时点D位于线段CQ上，
∵∠BCA=45o，可求出AQ=CQ=4，
设CD=x，
∴DQ=4-x，
容易说明△AQD∽△DCP，
∴，
∴，
∴，

∵0＜x≤3，
∴当x=2时，CP有最大值1。